Cargando tema…

EXANI-I REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Regresar al temario

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

Domina la representación gráfica de funciones para el EXANI-I: comprende el concepto visual de las funciones matemáticas, interpreta el plano cartesiano, analiza el criterio de la recta vertical y clasifica funciones lineales y cuadráticas mediante sus parámetros y comportamientos.

La Intuición

Explicación Sencilla

Imagínate que vas caminando por un parque y ves una montaña rusa a lo lejos. La estructura sube muy alto, luego baja en picada, vuelve a subir un poco formando una curva suave y finalmente se aplana hasta llegar a la estación. Si quisieras dibujarle a un amigo esa montaña rusa sin tomarle una foto, podrías trazar una línea en una hoja con dos ejes (uno vertical para la altura y uno horizontal para el tiempo transcurrido). Eso que acabas de dibujar es, literalmente, la representación gráfica de una función.

Una función es como una máquina matemática donde metes un número (la entrada o variable independiente) y te devuelve otro número transformado (la salida o variable dependiente). Por ejemplo, si una máquina duplica todo lo que le metes, entras con un 2 y sale un 4; entras con un 3 y sale un 6.

La representación gráfica no es más que la "fotografía visual" de cómo se comporta esa máquina. En lugar de ver solo números aburridos en una tabla, ves una línea, una parábola o una curva en un plano cartesiano (el plano de ejes x e y).

Ejemplo práctico de la vida real:

Piensa en el recibo de cobro del servicio de transporte por aplicación (como Uber o DiDi):

  • Tarifa base fija: $20 pesos solo por pedir el viaje.
  • Costo variable: $10 pesos por cada kilómetro recorrido.

Si viajas 0 km, pagas $20. Si viajas 1 km, pagas $30. Si viajas 2 km, pagas $40. Si viajas 5 km, pagas $70.

Si representamos esto gráficamente:

  1. El eje horizontal (x) representa los kilómetros recorridos.
  2. El eje vertical (y) representa el costo total en pesos.
  3. Marcamos los puntos: (0, 20), (1, 30), (2, 40), (5, 70).
  4. Al unir estos puntos, obtenemos una línea recta que sube constantemente hacia la derecha. Esa línea recta es la representación gráfica de la función f(x) = 10x + 20. Con solo mirar la gráfica, sin hacer ninguna cuenta, cualquier persona puede saber cuánto pagará por 3.5 km ubicando el valor en el eje X y viendo qué altura alcanza en el eje Y.
Fundamentación Teórica

Explicación Académica

La representación gráfica de una función es el conjunto de todos los puntos ordenados (x, f(x)) en el plano cartesiano ℝ2, donde x pertenece al dominio de la función (Dom(f)) y f(x) es la imagen correspondiente en el codominio o rango.

Formulación matemática:

Gf = {(x, y) ∈ ℝ2 | x ∈ Dom(f), y = f(x)}

1. Criterio de la Recta Vertical

Para que una gráfica represente una función (donde a cada elemento del dominio le corresponde una y solo una imagen en el codominio), debe cumplir con el Criterio de la Línea Vertical: Si cualquier recta vertical trazada en el plano cartesiano intersecta a la gráfica en más de un punto, la gráfica NO representa una función (representa una relación implícita, como una circunferencia).

2. Clasificación de Funciones Criterio Gráfico y Analítico (Temario EXANI-I)

A. Función Lineal (Primer Grado)

  • Forma algebraica: f(x) = mx + b
  • Geometría de la gráfica: Una línea recta.
  • Parámetros:
    • m: Pendiente de la recta (razón de cambio). Si m > 0, es creciente; si m < 0, es decreciente; si m = 0, es una función constante (línea horizontal).
    • b: Ordenada al origen. Es el punto de intersección con el eje Y, es decir, el punto (0, b).

B. Función Cuadrática (Segundo Grado)

  • Forma algebraica: f(x) = ax2 + bx + c (con a ≠ 0)
  • Geometría de la gráfica: Una curva simétrica llamada parábola.
  • Parámetros:
    • a: Determina la concavidad. Si a > 0, abre hacia arriba (presenta un mínimo); si a < 0, abre hacia abajo (presenta un máximo).
    • Vértice: Punto extremo del cambio de sentido de la parábola, con coordenadas v −b 2a , f −b 2a .
    • Intersección con el eje Y: Punto (0, c).
    • Raíces o ceros (intersecciones con el eje X): Valores donde f(x) = 0, calculados mediante x = −b ± √(b2 − 4ac) 2a .

3. Funciones Crecientes, Decrecientes y Constantes

  • Creciente: Conforme x aumenta (x1 < x2), y también aumenta (f(x1) < f(x2)). Visualmente sube de izquierda a derecha.
  • Decreciente: Conforme x aumenta (x1 < x2), y disminuye (f(x1) > f(x2)). Visualmente baja de izquierda a derecha.
  • Constante: Para todo valor de x, y se mantiene igual (f(x1) = f(x2)). Es una línea horizontal paralela al eje X.
El Hack del Admin

El Filtro Automático para Destruir Reactivos

Para resolver reactivos sobre representación gráfica de funciones en el EXANI-I con total precisión, utiliza este filtro de clasificación inmediata basado en términos clave del análisis gráfico:

Palabras Clave "Funciones y Gráficas" (Marcar de inmediato)

  • Línea recta / Parábola simétrica
  • Pendiente (m) / Ordenada al origen (b)
  • Criterio de la recta vertical
  • Vértice de la parábola / Concavidad
  • Creciente, decreciente o constante

Palabras Trampa (Descartar en este tema)

  • Circunferencia como función de una sola rama sin restricción
  • Relación donde a un valor de X le corresponden dos valores de Y
  • Pendiente indefinida o vertical como función
  • Corte múltiple en una misma línea vertical
  • Tablas de datos sin correspondencia analítica

Ejemplo de Descarte Rápido

Si el reactivo te pregunta si una gráfica curva cerrada (como un círculo) es una función y una línea vertical la corta en dos puntos, descártala de inmediato como función y identifícala como una relación o ecuación implícita. Si te piden la pendiente o el intercepto de una recta, busca directo los valores de m y b en la ecuación f(x) = mx + b.